经常有人问我：学数学要不要刷题？怎么做题效率才能更高？

谈论任何事情都得有个前提，我写这篇文章的前提是：学数学是为了拿高分、进名校。所以，有两种人可以不要看这篇文章。第一种人是投胎技能满级，拥有一位神奇的爸爸，可以让自己一路没有升学压力的就读名校；第二种人是智商属性超高，任何东西都是看一眼就能熟练掌握。如果您觉得自己不是这两种人之一，咱们接着往下聊。

先回答第一个问题：刷题可以提高熟练度，让自己在时间极其紧张的考试中拿到高分，所以刷题很有必要。对我辈普通人来说，如果有人胆敢鼓吹既不要专门刷题训练计算能力，也不要做难题，只需要读一读科普书，看一看数学史，甚至在中学阶段就提前学习高等数学，那么这人不是蠢就是坏。碰见这类人，直接操起板砖拍丫的。

再回答第二个问题：刷题不能盲目刷，比较高效的方法是吃透一道题的来龙去脉，并且能举一反三。这是我今天重点要讲的内容，下面就以两类数学题为例，介绍一种高效的刷题方法。

案例一硬币转动问题

我曾经详细讲解过一道非常经典的题目：

有两个相同大小的硬币甲和乙，硬币乙固定不动，硬币甲围着乙顺时针绕圈回到原位，全程无滑动的，问硬币甲自身转动了几圈？

这是一个很经典的问题，如果事先不知道答案，很多人都回答是1，他们的理由是:硬币甲转动的距离就是硬币乙的周长，因此硬币甲只转动了1圈。这是错误的！

出错的原因在于，硬币甲转动并不是直线。

在一条直线上，一个硬币滚动它的1个周长的距离，硬币自身确实只转动1圈。但这个结论对于折线是不成立的。先看下面这个问题：

如上图所示，MP和PN成度角，AP为硬币的直径，有一个硬币在P点与MP所在直线相切，当该硬币无滑动的变化为在P点与PN所在直线相切时，A点转动了多少角度？

这个问题比较简单，因为最初AP与MO垂直，后来AP与PN垂直，因此两条绿色线段所成的夹角就是-=30度。

注意，在上面这个例子中，硬币转过的角度是-∠MPN。类似的可以得到：如果有一个硬币从外侧围着正n边形转圈，在这n个顶点处，硬币转过的角度和就是这个n边形的外角和，由于正n边形的外角和是度，所以这个硬币比转直线时要多转1圈。

圆是可以由内接正n边形不断逼近的。回到本文开头的问题，硬币甲也应该比在直线上转动时多转1圈，而直线上转硬币乙的周长需要1圈，所以硬币甲绕硬币乙转圈回到原位时，硬币甲共转了2圈。

如果您详细阅读"引用部分"，把上面这道题吃透了，就可以试着拓展到下面这道题，题目来自“”网友，感谢他提供的题目。

如图：15枚相同的硬币排成一个长方形，另有一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周，回到起始位置。问：硬币自身转动了多少圈？

解题过程：如下图，把转动的硬币记作硬币A，把组成长方体的15枚硬币可以分为三类，第一类是长方形4角处的4枚硬币，第二类是四条边上但不含4个角的8枚硬币，第三类是最中间的4枚硬币。对于第一类硬币，A在其中每一枚硬币上都滚动-60-60-90=°；对第二类硬币，A在其中每一枚硬币上都滚动60°；对第三类硬币，与滚动无关。因此硬币A沿着外圈滚动一周时，滚动过的角度是*4+60*8=°=3*°，即硬币A相当于绕着某一硬币3圈。根据上面的例题，每绕1圈，硬币A自身转动2圈，所以硬币自身转动了6圈。

通过这两道题目，相信您一定能熟练掌握硬币绕圆环外圈转动的问题，类似的，还可以推广到硬币绕圆形杯子内部转动。这样刷题，只需要几道典型题目，就可以彻底掌握这类问题。

案例二m/n的最值问题

已知a/b和c/d都是正的最简分数，且bc-ad=1。m和n是满足a/bm/nc/d的两个自然数。求证：m的最小值是a+c，n的最小值是b+d。

辅导方法：

将题目写给孩子，

让他自行思考解答，

若20分钟仍然没有思路，

再由家长进行提示性讲解。

讲解思路：

这道题属于分数问题，

今天我们介绍一种解方程的方法，

通过方程来求解不等式，

最终得到最小值。

解题过程：

由于a/bm/nc/d，

故bman且cndm,

则存在正整数p和q,

使：bm-an=p,cn-dm=q,

把这看作关于m和n的方程组，

求解这个二元一次方程组，

可得：m=(aq+cp)/(bc-ad)=aq+cp,

n=(bq+dp)/(bc-ad)=bq+dp。

显然，当且仅当p=q=1,

m和n都取到最小值，

此时m=a+c,n=b+d,

所以原命题成立。

观察原题不难发现，总有一些m满足条件时，n的取值唯一。自然想到这样的m最大值是多少，这就是前天的思考题，可以抽象为如下题目：

已知a/b和c/d都是正的最简分数，且bc-ad=1。m和n是满足a/bm/nc/d的两个自然数。对m的有些取值，只能找到唯一的n使上述大小关系成立，把这样的m叫做幸运数。求证：幸运数的最大值是2ac。

解题过程：只需先让不等式最左和最右的分子相等，由于a/b=ac/bc,c/d=ac/ad，注意到bc-ad=1,故m=ac时没有满足条件的n，接着让m=2ac,此时n的取值唯一且是2bc-1=bc+ad。如果m再大一点，n的取值就不再唯一。所以幸运数的最大取值是2ac。

这道题还可以继续推广为：

已知a/b和c/d都是正的最简分数，且bc-ad=1。m和n是满足a/bm/nc/d的两个自然数。对n的有些取值，只能找到唯一的m使上述大小关系成立，把这样的m叫做快乐数。求证：快乐数的最大值是2bd。

证明过程类似于上面的题目，在此不再赘述。

如果能吃透上面的3道题，这类题目想必不会再有问题。这样的刷题方式，你能说它不香？